Operaciones elementales

LA SUMA
La suma o adición es la operación básica por su naturalidad, que se combina con facilidad matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar.
En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.
En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc.

Propiedades de la suma
Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado: a+b=b+a.
Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.[2] Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+c.
Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.
Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.
Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4.
Propiedad de cerradura:Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. Por ejemplo a+b=c
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.
Notación


Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.
También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo:
1 + 2 + 3 +... + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.
2 + 4 + 8 +... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.
Tabla
Para realizar una suma se parte de la tabla de sumar, en la que se representa la suma de los diez primeros números, que se aprende por memorización, conocida esta tabla se pueden realizar sumas de números de cualquier número de cifras.

Tabla de sumar
Tabla del 1
1
+
0
=
1
1
+
1
=
2
1
+
2
=
3
1
+
3
=
4
1
+
4
=
5
1
+
5
=
6
1
+
6
=
7
1
+
7
=
8
1
+
8
=
9
1
+
9
=
10
1
+
10
=
11
Tabla del 2
2
+
0
=
2
2
+
1
=
3
2
+
2
=
4
2
+
3
=
5
2
+
4
=
6
2
+
5
=
7
2
+
6
=
8
2
+
7
=
9
2
+
8
=
10
2
+
9
=
11
2
+
10
=
12
Tabla del 3
3
+
0
=
3
3
+
1
=
4
3
+
2
=
5
3
+
3
=
6
3
+
4
=
7
3
+
5
=
8
3
+
6
=
9
3
+
7
=
10
3
+
8
=
11
3
+
9
=
12
3
+
10
=
13
Tabla del 4
4
+
0
=
4
4
+
1
=
5
4
+
2
=
6
4
+
3
=
7
4
+
4
=
8
4
+
5
=
9
4
+
6
=
10
4
+
7
=
11
4
+
8
=
12
4
+
9
=
13
4
+
10
=
14
Tabla del 5
5
+
0
=
5
5
+
1
=
6
5
+
2
=
7
5
+
3
=
8
5
+
4
=
9
5
+
5
=
10
5
+
6
=
11
5
+
7
=
12
5
+
8
=
13
5
+
9
=
14
5
+
10
=
15
Tabla del 6
6
+
0
=
6
6
+
1
=
7
6
+
2
=
8
6
+
3
=
9
6
+
4
=
10
6
+
5
=
11
6
+
6
=
12
6
+
7
=
13
6
+
8
=
14
6
+
9
=
15
6
+
10
=
16
Tabla del 7
7
+
0
=
7
7
+
1
=
8
7
+
2
=
9
7
+
3
=
10
7
+
4
=
11
7
+
5
=
12
7
+
6
=
13
7
+
7
=
14
7
+
8
=
15
7
+
9
=
16
7
+
10
=
17
Tabla del 8
8
+
0
=
8
8
+
1
=
9
8
+
2
=
10
8
+
3
=
11
8
+
4
=
12
8
+
5
=
13
8
+
6
=
14
8
+
7
=
15
8
+
8
=
16
8
+
9
=
17
8
+
10
=
18
Tabla del 9
9
+
0
=
9
9
+
1
=
10
9
+
2
=
11
9
+
3
=
12
9
+
4
=
13
9
+
5
=
14
9
+
6
=
15
9
+
7
=
16
9
+
8
=
17
9
+
9
=
18
9
+
10
=
19
Tabla del 10
10
+
0
=
10
10
+
1
=
11
10
+
2
=
12
10
+
3
=
13
10
+
4
=
14
10
+
5
=
15
10
+
6
=
16
10
+
7
=
17
10
+
8
=
18
10
+
9
=
19
10
+
10
=
20

La tabla de sumar en forma cartesiana
Otra forma de representar la tabla de sumar es en forma cartesiana. En esta representación, la primera fila y la primera columna contienen los números que se van a sumar, y en la intersección de cada fila con cada columna se muestra la suma de ambos números.

+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20


Realizar una suma


Se procede de la siguiente manera para sumas de varios números, llamados "sumandos".
Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas, empezando por la derecha con la cifra de las unidades(U), a la izquierda las decenas(D), la siguiente las centenas(C), la siguiente los millares(M), etc.
La suma de los números 750 + 1583 + 69 se ordenarían de la siguiente forma:







Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades según las tablas elementales, colocando en el resultado la cifra de unidades que resulte; cuando estas unidades sean más de 10 las decenas se acumulan como un sumando más en la fila de acarreo.
En este caso 3 más 9 son 12, el 2 del 12 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa como acarreo en la columna siguiente.
En la columna de las decenas, procediendo entonces a la suma de esa columna como si fueran unidades.
Sumamos el 1 del acarreo más 5, 8 y 6 que dan un total de 20, el 0 de 20 se pone en la parte inferior como resultado y el 2 se pasa como acarreo a la columna siguiente.
Se procede de igual forma con la columna de las decenas, acarreo incluido, colocando en la fila de acarreo sobre la columna de las centenas las decenas (de unidades de decenas).
En la columna de las centenas tenemos, el 2 de acarreo, el 7 y el 5 que sumados dan 14, el 4 del 14 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa a la siguiente columna como acarreo.
Se procede de igual forma con todas las columnas, añadiendo a la columna última de la izquierda las decenas de la columna anterior en vez de subir a la fila de acarreo.
En la columna de los millares tenemos 1 de acareo más el 1 de sumando que sumados dan 2, que se pone en la parte inferior como resultado, al no haber mas sumandos damos por finalizada la operación.
Normalmente los acarreos o llevadas no se anotan en el papel, sumando directamente el acarreo a los sumandos de la columna siguiente y el aspecto de la realización de la suma sin las anotaciones auxiliares sería el siguiente:

LA RESTA

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.


Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c–b=a.
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.
En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.
En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.
Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.
Tabla de restar
Las tablas se leen De --- a ---- igual a ----
TABLA DE RESTAR
De 1 - 1 = 0
De 2 - 2 = 0
De 3 - 3 = 0
De 4 - 4 = 0
De 5 - 5 = 0
De 6 - 6 = 0
De 7 - 7 = 0
De 8 - 8 = 0
De 9 - 9 = 0
2 - 1 = 1
3 - 2 = 1
4 - 3 = 1
5 - 4= 1
6 - 5 = 1
7 - 6 = 1
8 - 7 = 1
9 - 8 = 1
10 - 9 = 1
3 - 1 = 2
4 - 2 = 2
5 - 3 = 2
6 - 4 = 2
7 - 5 = 2
8 - 6 = 2
9 - 7 = 2
10 - 8 = 2
11 - 9 = 2
4 - 1 = 3
5 - 2 = 3
6 - 3 = 3
7 - 4 = 3
8 - 5 = 3
9 - 6 = 3
10 - 7 = 3
11 - 8 = 3
12 - 9 = 3
5 - 1 = 4
6 - 2 = 4
7 - 3 = 4
8 - 4 = 4
9 - 5 = 4
10 - 6 = 4
11 - 7 = 4
12 - 8 = 4
13 - 9 = 4
6 - 1 = 5
7 - 2 = 5
8 - 3 = 5
9 - 4 = 5
10 - 5 = 5
11 - 6 = 5
12 - 7 = 5
13 - 8 = 5
14 - 9 = 5
7 - 1 = 6
8 - 2 = 6
9 - 3 = 6
10 - 4 = 6
11 - 5 = 6
12 - 6 = 6
13 - 7 = 6
14 - 8 = 6
15 - 9 = 6
8 - 1 = 7
9 - 2 = 7
10 - 3 = 7
11 - 4 = 7
12 - 5 = 7
13 - 6 = 7
14 - 7 = 7
15 - 8 = 7
16 - 9 = 7
9 - 1 = 8
10 - 2 = 8
11 - 3 = 8
12 - 4 = 8
13 - 5 = 8
14 - 6 = 8
15 - 7 = 8
16 - 8 = 8
17 - 9 = 8
Se procede colocando el minuendo encima del sustraendo, ordenando las cifras en columnas de derecha a izquierda según el orden de unidades, decenas, centenas etc. igual que en la suma.
La resta de los números 1419 y 751 se ordenarían de la siguiente forma:
Se aplica la tabla elemental en la columna de las unidades, teniendo en cuenta que si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo se suma a la cifra 10 unidades, colocando en la línea de acarreo sobre las centenas un 1, que se suma a la cifra del sustraendo de las centenas, procediendo de igual forma en la columna de las unidades de millar.
La cifra 0 en el minuendo se considera como un 10, mientras que en el sustraendo no tiene ningún efecto.
La comprobación del resultado como "Resto o Diferencia" se hace sumando dicho resultado con el sustraendo. El resultado de dicha suma debe de ser el minuendo. Por ejemplo:
En toda resta se cumple: Sustraendo + Diferencia = Minuendo. Así, por ejemplo la verdadera resta: 1007 – 428 = 579. Y al aplicar la fórmula anterior para averiguar si está bien o saber un término sin hallar: 428 + 579 =1007.
El método usado en América y en algunos países europeos como España es el siguiente:
En el caso de que una cifra del minuendo sea menor que la del sustraendo, se decrementa en una unidad la cifra del minuendo que está inmediatamente a la izquierda de la que estamos tratando y se suma 10 a la cifra del minuendo tratada.
Por ejemplo, 1419 – 751 = 668. Empezaremos por las unidades, 9 – 1, que no presentan ningún problema quedando 9 – 1 = 8. En el caso de las decenas, tenemos 1 – 5 y como la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, restamos una unidad de las centenas del minuendo (4 – 1 = 3) y sumamos 10 a las decenas del minuendo (10 + 1 = 11), quedando 11 – 5 = 6. Para las centenas, tenemos 3 – 7 y como antes, restamos una unidad a las unidades de millar (1 – 1 = 0) y sumamos 10 a las centenas (10 + 3 = 13), quedando 13 – 7 = 6. Al haber hecho 0 las unidades de millar (0 – 0 = 0) da por finalizado el algoritmo dando como resultado 668.

En algunos países de Europa se usa el mismo método que en América con la diferencia siguiente:
En el caso de que una cifra del minuendo sea menor que la del sustraendo, se incrementa en una unidad la cifra del sustraendo que está inmediatamente a la izquierda de la que estamos tratando y se suma 10 a la cifra del minuendo tratada.
Para el mismo ejemplo, 1419 – 751 = 668. Empezaremos por las unidades, 9 – 1, que no presentan ningún problema quedando 9 – 1 = 8. En el caso de las decenas, tenemos 1 – 5 y como la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, sumamos una unidad a las centenas del sustraendo (7 + 1 = 8) y sumamos 10 a las decenas del minuendo (10 + 1 = 11), quedando 11 – 5 = 6. Para las centenas, tenemos 4 – 8 y como antes, sumamos una unidad a las unidades de millar (0 + 1 = 1) y sumamos 10 a las centenas (10 + 4 = 14), quedando 14 – 8 = 6. En el caso de las unidades de millar, que no presentan problema, queda 1 – 1 = 0 finalizando el algoritmo dando como resultado 668.

LA MULTIPLICACIÓN

La multiplicacion es una operacion binaria en el conjunto de los numeros naturales.Sus terminos son factor y producto. La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo valor la cantidad de veces indicada por un segundo valor. Así, 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.
El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para una discusión sobre el tema.
En Álgebra Moderna se suele usar la denominación Cociente o multiplicación con su notación habitual "·" para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo.
Notación
La multiplicación se indica con un aspa (×) o el punto medio (·). En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computación (este uso tiene su origen en FORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis (x), pero esto es desaconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras dos). También suelen utilizarse signos de agrupación como paréntesis (), corchetes ([]) o llaves ({ }). Esto mayormente se utiliza para multiplicar números negativos entre sí o por números positivos. ma
Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, (o en caso de un producto de infinitos términos sólo los primeros), y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas). [El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando n crece indefinidamente].
Aqui podeis observar como se realizan las multiplicaciones de forma sencilla:

Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:
1*2*...*99*100
mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría:
2*4*6*...*100.
Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la línea de texto:
1*2*...*99*100
En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos.

Propiedades

Propiedad conmutativa

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualquiera x e y:
x·y = y·x

Propiedad asociativa

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualquiera x, y, z, se cumple:
(x·y)z = x(y·z)
En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.
Por ejemplo:
(8×3)×2 = 8×(3×2)
24×2 = 8×6
48 = 48

Propiedad distributiva

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:
x.(y + z) = x.y + x.z
Asimismo:
(x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

Elemento neutro

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo, es decir, todo numero multiplicado por 1 da igual a su mismo contenido por mas grande que sea el numero
1·x = x
es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1.

Cero

Todo numero multiplicado por cero da cero.



 Ahora para comprobar que habeis aprendido algo nuevo, tan solo teneis que pinchar en el link siguiente y realizar las operaciones

http://www.ematematicas.net/operaciones_elementales.php
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